盛金公式,卡尔丹公式判别根的数量?

2022-01-08 10:07:14 百科大全 投稿:一盘搜百科
摘要1.卡尔丹公式法   特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 ,(p、q∈R) 盛金公式。   判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3 。    【卡尔丹公式】   X1=(Y1)^

1.卡尔公式
  特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 ,(p、q∈R) 盛金公式。   判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3 。   
【卡尔丹公式】   X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3);   X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2;   X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω,   其中ω=(-1+i3^(1/2))/2;Y(1,2)=-(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0 ,(a,b,c,d∈R,且a≠0)。   令X=Y—b/(3a)代入上式,   可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。   
【卡尔丹判别法】   当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根;   当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根;   当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时,方程有三个不相等的实根。 2.盛金公式法
  三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,并建立了新判别法。   
【盛金公式】   一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)。   重根判别式:A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd,   总判别式:Δ=B^2-4AC。   
当A=B=0时,盛金公式①:   X⑴=X⑵=X⑶=-b/(3a)=-c/b=-3d/c。   
当Δ=B^2-4AC>0时,盛金公式②:   X⑴=(-b-Y⑴^(1/3)-Y⑵^(1/3))/(3a);   X(2,3)=(-2b+Y⑴^(1/3)+Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)-Y⑵^(1/3))/(6a);   其中Y(1,2)=Ab+3a(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2,i^2=-1。   
当Δ=B^2-4AC=0时,盛金公式③:   X⑴=-b/a+K;X⑵=X3=-K/2,   其中K=B/A,(A≠0)。   
当Δ=B^2-4AC<0时,盛金公式④:   X⑴=(-b-2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a);   X(2,3)=(-b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a);   其中θ=arccosT,T=(2Ab-3aB)/(2A^(3/2)),(A>0,-1<T<1)
【盛金判别法】   ①:当A=B=0时,方程有一个三重实根;   ②:当Δ=B^2-4AC>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根;   ③:当Δ=B^2-4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根;   ④:当Δ=B^2-4AC<0时,方程有三个不相等的实根。   
【盛金定理】   当b=0,c=0时,盛金公式①无意义;当A=0时,盛金公式③无意义;当A≤0时,盛金公式④无意义;当T<-1或T>1时,盛金公式④无意义。   当b=0,c=0时,盛金公式①是否成立?盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值?盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值?盛金定理给出如下回答:   
盛金定理1:当A=B=0时,若b=0,则必定有c=d=0(此时,方程有一个三重实根0,盛金公式①仍成立)。   盛金定理2:当A=B=0时,若b≠0,则必定有c≠0(此时,适用盛金公式①解题)。   盛金定理3:当A=B=0时,则必定有C=0(此时,适用盛金公式①解题)。   盛金定理4:当A=0时,若B≠0,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。   盛金定理5:当A<0时,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。   盛金定理6:当Δ=0时,若B=0,则必定有A=0(此时,适用盛金公式①解题)。   盛金定理7:当Δ=0时,若B≠0,盛金公式③一定不存在A≤0的值(此时,适用盛金公式③解题)。   盛金定理8:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在A≤0的值。(此时,适用盛金公式④解题)。   盛金定理9:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值,即T出现的值必定是-1<T<1。   
显然,当A≤0时,都有相应的盛金公式解题。   注意:盛金定理逆之不一定成立。如:当Δ>0时,不一定有A<0。

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