有界数列一定收敛吗,有极限的数列一定是收敛数列吗？

不一定有界数列一定收敛吗。

收敛函数一定有极限，有极限的函数不一定收敛。函数一般不说收敛，只说当x有某种变化趋势时，f(x)是否有极限。数列或者级数，才喜欢说收敛。“收敛”和“有极限”是一个意思，完全等价。收敛一定有界，有界不一定收敛。

根据收敛定义就可以知道，对于数列an存在一个数A，无论给定一个多么小的数e，都能找到数字N，使得n>N时，所有的|an－A|。

有极限是局部有界，收敛是整体有界。函数单调有界可能不存在极限（∞），数列单调有界必有极限。

通常收敛与有极限是同一个意思,但是有一个例外,就是如果极限时∞,我们说其发散。

收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

令{an}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|an-A|<b恒成立，就称数列{an}收敛于A（极限为A），即数列{an}为收敛数列。

(1) 收敛一定有界，因为收敛会逐渐逼近一个确定值，因此在收敛方向上一定有界；如 f(x) = e^(-x) *sinx 当x趋近正无穷时；(2) 有界不一定收敛，可以在边界内跳跃或震荡；例如 f(x)=sinx 有界，|f(x)|<=1，但是当x趋近正无穷时，却不收敛。(3) 指数函数 f(x) = 2^x，当x趋近正无穷时，f(x)趋近正无穷，函数无界，就更不会收敛了。

扩展资料

收敛函数就是趋于无穷的（包括无穷小或者无穷大），该函数总是逼近于某一个值，这就叫函数的收敛性。从字面可以含义，就可理解为，函数的值总被某个值约束着，就是收敛，所以收敛必定有界，但是不一定上下界都有。定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

定义：若存在两个数A，B(设A<B)，数列中的每一项都在闭区间[A，B]内，亦即，则称为有界数列．这时A称为它的下界，B称为它的上界．关于有界数列有下面几点说明．(1)如果B是数列的上界，那么B＋1，B＋2，B+α(α>0)都是的上界．这表明上界并不是惟一的，下界也是如此．(2)对于数列，如果存在正整数N，当n>N时，总有,我们就说数列往后有界．要注意，往后有界一定是有界的，这是因为在N项之前只有有限多个数在这有限个数中必有最大的数和最小的数，设，那么min(A，α)和max(B，β)就是整个数列的下界和上界．(3)有界数列也可以这样叙述：若存在一个正数M，使得，就称是有界数列．或者也可以这么说，若存在原点O的一个M邻域O(O，M)，使得所有，就称是有界数列，这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的．证明数列的有界性,常用的方法是放缩法和数学归纳法。另外画图.可以帮助你做一般题或者根据题给出的部分条件,判断是否单调什么的.没发具体说方法.收敛数列一定有界,但有界数列不一定有收敛

答：有界数列不一定是收敛数列，例如，摆动数列

是有界的，因对一切n，有 ，但它是发散的；而数列

也是有界的，因对一切n，有 ，但数列是收敛的，有。

无界数列一定是发散的，因为如果它是收敛的，根据收敛数列是有界的，得出数列有界的结论。

[答]如果数列{ }满足：对一切的n，有

其中M 是与n 无关的常数，称数列{

}上有界（有上界），并称M 是它的一个上界；如果数列{

}满足：对一切的n，有

，其中m 是与n 无关的常数，称数列{

}下有界（有下界），

并称m 是它的一个下界。数列上有界，下有界与数列有界的关系是：数列有界的充分必要条件是数列

，即上有界又下有界。证明如下：

充分性证明，设数列{ }上有界且下有界，则存在常数m 和M，使对一切的n 有取 =

，那么

且对一切的n，有，即

所以数列{ }有界。

必要性证明： 设数列{ }有界，则对一切的n，存在正常数

，有或，

取m= ，M=

，则对一切的n，有

同时成立，故数列{ }上有界且下有界。

有界，因而收敛。当数列 { }单调递减，那么它的第一项 就是它的一个上

界，因此有下界，则该数列有界，因而收敛。